高等数学 · 多元微积分（偏导 / 重积分 / 线面积分）
高等数学 · 多元微积分
考研高数后半程：偏导 → 全微分 → 方向导数/梯度 → 极值 → 重积分 → 线面积分 → 三大公式。
1. 多元函数极限与连续
lim((x,y)→(x₀,y₀)) f(x,y) = A判断极限不存在：取两条不同路径（如 y=kx、y=x²），极限不同则不存在。
2. 偏导数
fₓ(x₀,y₀) = lim(Δx→0) [f(x₀+Δx, y₀) − f(x₀,y₀)] / Δx
fᵧ(x₀,y₀) = lim(Δy→0) [f(x₀, y₀+Δy) − f(x₀,y₀)] / Δy高阶偏导
fₓₓ、fₓᵧ、fᵧₓ、fᵧᵧ
若 fₓᵧ 与 fᵧₓ 连续 ⇒ 二者相等（混合偏导与次序无关）隐函数偏导
F(x,y,z)=0 确定 z=z(x,y)：
∂z/∂x = −Fₓ/F_z，∂z/∂y = −Fᵧ/F_z3. 全微分
dz = fₓ(x,y)·dx + fᵧ(x,y)·dy可微 ⇒ 偏导存在；偏导连续 ⇒ 可微；可微 ⇒ 连续。
复合函数链式法则（中间变量法）：
z = f(u,v)，u=u(x,y)，v=v(x,y)
∂z/∂x = (∂z/∂u)(∂u/∂x) + (∂z/∂v)(∂v/∂x)4. 方向导数与梯度
方向导数 ∂f/∂l = fₓ·cos α + fᵧ·cos β
梯度 grad f = (fₓ, fᵧ)梯度方向是函数增长最快的方向，其模为方向导数最大值。
5. 多元函数极值
无条件极值（二阶偏导判别）
驻点 (x₀,y₀)：fₓ=fᵧ=0，记
A = fₓₓ，B = fₓᵧ，C = fᵧᵧ
AC − B² > 0 且 A < 0 ⇒ 极大；AC − B² > 0 且 A > 0 ⇒ 极小
AC − B² < 0 ⇒ 非极值（鞍点）；AC − B² = 0 ⇒ 需另判条件极值（拉格朗日乘数法）
在 φ(x,y)=0 下求 f(x,y) 极值：
L(x,y,λ) = f(x,y) + λ·φ(x,y)
解 Lₓ=Lᵧ=L_λ=06. 二重积分
∬(D) f(x,y) dxdy直角坐标
| 区域类型 | 积分次序 |
|---|---|
| X 型 | ∫(a..b) dx ∫(y₁(x)..y₂(x)) f dy |
| Y 型 | ∫(c..d) dy ∫(x₁(y)..x₂(y)) f dx |
极坐标
x = r·cos θ，y = r·sin θ，dxdy = r·drdθ适合圆域、被积函数含 x²+y²。
对称性
D 关于 x 轴对称：f 关于 y 为奇 ⇒ 0；为偶 ⇒ 2 倍
D 关于 y=x 对称：∬f(x,y) = ∬f(y,x)7. 三重积分
| 方法 | 适用 | 公式 |
|---|---|---|
| 先一后二（投影法） | 一般区域 | ∫∫ dxdy ∫(z₁..z₂) f dz |
| 先二后一（截面法） | 旋转体 | ∫(a..b) dz ∬(D_z) f dxdy |
| 柱坐标 | 旋转体 | x=r cosθ, y=r sinθ, z=z，dv = r drdθdz |
| 球坐标 | 球域 | x=r sinφ cosθ, …，dv = r² sinφ drdφdθ |
8. 曲线积分
第一类（对弧长）
∫(L) f(x,y) ds，参数化 x=x(t),y=y(t)：
ds = √(x'² + y'²) dt与方向无关，物理意义：质量、弧长。
第二类（对坐标）
∫(L) P dx + Q dy = ∫ P·x'(t) dt + Q·y'(t) dt与方向有关。
格林公式
∮(L⁺) P dx + Q dy = ∬(D) (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dxdy与路径无关 ⇔ ∂P/∂y = ∂Q/∂x ⇔ 存在势函数 u 使 du = P dx + Q dy。
9. 曲面积分
第一类（对面积）
∬(Σ) f dS = ∬(D) f(x,y,z(x,y))·√(1+zₓ²+zᵧ²) dxdy第二类（对坐标）
∬(Σ) P dydz + Q dzdx + R dxdy，定向曲面，与侧有关高斯公式（通量）
∯(Σ) P dydz + Q dzdx + R dxdy = ∭(Ω) (∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z) dv斯托克斯公式（环量）
∮(L) P dx + Q dy + R dz = ∬(Σ) rot F · n dS10. 考研常考题型
- 二重积分换序 / 极坐标转换；
- 对称性化简重积分；
- 条件极值（拉格朗日）应用题；
- 格林公式补线（挖洞：奇点处小圆）；
- 高斯公式补面、方向（内侧/外侧）；
- 方向导数与梯度求最值方向。
例题速览
例 1：∬(D) (x²+y²) dxdy，D 为 x²+y² ≤ 1 第一象限。
极坐标：∫(0..π/2) dθ ∫(0..1) r²·r dr = (π/2)·(1/4) = π/8例 2：求 f(x,y)=x²+y² 在 x+y=1 下的最小值。
L = x²+y² + λ(x+y−1)
2x+λ=0，2y+λ=0，x+y=1 ⇒ x=y=1/2
最小值 = 1/4 + 1/4 = 1/211. 易错点清单
- 混合偏导相等需先验证连续；
- 二重积分换序必画区域图；
- 极坐标别漏因子
r； - 第二类曲线/曲面积分注意方向与侧；
- 格林/高斯公式使用前检查封闭性与奇点。