高等数学 · 一元微积分（积分学 + 微分方程）
高等数学 · 一元微积分（积分学 + 微分方程）
考研高频板块：一元函数积分学 + 常微分方程。掌握 基本积分表 → 换元/分部 → 定积分工具 → 应用 的主线。
1. 原函数与不定积分
∫ f(x) dx = F(x) + C （其中 F'(x) = f(x)）性质：
∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f dx ± ∫ g dx
∫ k·f(x) dx = k·∫ f(x) dx
[∫ f(x) dx]' = f(x)基本积分表（必背）
| 被积函数 | 积分 |
|---|---|
x^μ（μ≠−1） | x^(μ+1)/(μ+1) + C |
1/x | `ln |
e^x | e^x + C |
a^x | a^x/ln a + C |
sin x | −cos x + C |
cos x | sin x + C |
sec²x | tan x + C |
csc²x | −cot x + C |
1/(1+x²) | arctan x + C |
1/√(1−x²) | arcsin x + C |
sec x·tan x | sec x + C |
tan x | `ln |
2. 换元积分法
第一类换元（凑微分）
∫ f(φ(x))·φ'(x) dx = ∫ f(u) du，u = φ(x)常见凑微分：
x dx = ½ d(x²)；1/x dx = d(ln x)；e^x dx = d(e^x)
cos x dx = d(sin x)；1/√(1−x²) dx = d(arcsin x)第二类换元（去根号）
| 含根式 | 换元 |
|---|---|
√(a²−x²) | x = a·sin t |
√(a²+x²) | x = a·tan t |
√(x²−a²) | x = a·sec t |
√(ax+b) | t = √(ax+b) |
3. 分部积分法
∫ u dv = uv − ∫ v du选择 u 的口诀（反对幂指三）：反三角函数 > 对数 > 幂函数 > 指数 > 三角，越靠前越优先当 u。
典型：
∫ x·e^x dx = x·e^x − e^x + C
∫ ln x dx = x·ln x − x + C
∫ x·sin x dx = −x·cos x + sin x + C4. 有理函数积分
∫ P(x)/Q(x) dx：先真分式，再部分分式分解：
1/(x−a)(x−b) = A/(x−a) + B/(x−b)常用技巧：分母配方 + 凑微分。
5. 定积分
定义（黎曼和）
∫(a..b) f(x) dx = lim(λ→0) Σ f(ξᵢ)·Δxᵢ基本性质
∫(a..b) f dx = −∫(b..a) f dx
∫(a..b) [f±g] dx = ∫f dx ± ∫g dx
∫(a..b) f dx = ∫(a..c) f dx + ∫(c..b) f dx
f ≤ g ⇒ ∫f dx ≤ ∫g dx
|∫(a..b) f dx| ≤ ∫(a..b) |f| dx积分中值定理
∃ξ∈[a,b]：∫(a..b) f(x) dx = f(ξ)·(b−a)牛顿–莱布尼茨公式
F'(x) = f(x) ⇒ ∫(a..b) f(x) dx = F(b) − F(a)变上限积分
Φ(x) = ∫(a..x) f(t) dt ⇒ Φ'(x) = f(x)
[∫(a..φ(x)) f(t) dt]' = f(φ(x))·φ'(x)常用对称性
f 为奇函数：∫(−a..a) f dx = 0
f 为偶函数：∫(−a..a) f dx = 2·∫(0..a) f dx华里士（点火）公式
∫(0..π/2) sinⁿx dx = ∫(0..π/2) cosⁿx dx
n 为奇数：(n−1)!!/n!!
n 为偶数：(n−1)!!/n!! · π/26. 反常积分
| 类型 | 定义 | 收敛条件举例 |
|---|---|---|
| 无穷限 | ∫(a..+∞) f dx = lim(b→+∞)∫(a..b) f dx | ∫(1..∞) 1/x^p dx：p>1 收敛，p≤1 发散 |
| 瑕积分 | 无界点处取极限 | ∫(0..1) 1/x^p dx：p<1 收敛，p≥1 发散 |
比较判别法 / 极限比较法：与 1/x^p 比较。
7. 定积分应用
| 应用 | 公式 |
|---|---|
| 平面面积 | `A = ∫(a..b) |
| 旋转体体积（绕 x 轴） | V = π∫(a..b) [f(x)]² dx |
| 旋转体体积（柱壳） | V = 2π∫(a..b) x·f(x) dx |
| 曲线弧长 | s = ∫(a..b) √(1+[f'(x)]²) dx |
| 旋转体侧面积 | S = 2π∫(a..b) f(x)·√(1+[f'(x)]²) dx |
| 变力做功 / 水压力 | 微元法：dW = F(x) dx |
8. 常微分方程
一阶方程
| 类型 | 形式 | 解法 |
|---|---|---|
| 可分离变量 | dy/dx = f(x)·g(y) | 分离后两边积分 |
| 齐次方程 | dy/dx = φ(y/x) | 令 u = y/x 化为可分离 |
| 一阶线性 | y' + P(x)y = Q(x) | 公式：y = e^(−∫P dx)·[∫Q·e^(∫P dx) dx + C] |
| 伯努利 | y' + P(x)y = Q(x)·yⁿ | 令 z = y^(1−n) 化为一阶线性 |
二阶常系数线性方程
y'' + p·y' + q·y = f(x)齐次（f(x)=0）：特征方程 r² + pr + q = 0
| 特征根 | 通解 |
|---|---|
两不等实根 r₁,r₂ | C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x) |
重根 r | (C₁ + C₂x)·e^(rx) |
共轭复根 α±βi | e^(αx)·(C₁cos βx + C₂sin βx) |
非齐次：通解 = 齐次通解 + 特解（待定系数法按 f(x) 类型设特解，含指数/多项式/三角）。
9. 考研常考题型
- 不定积分计算（换元 + 分部组合）；
- 对称区间定积分（奇偶性秒杀）；
- 变上限积分求导与极限；
- 反常积分判敛；
- 旋转体体积与面积；
- 一阶线性 / 二阶常系数方程求解（初值问题）；
- 积分中值定理与夹逼结合的极限题。
例题速览
例 1：∫(0..π) x·sin x dx
分部积分：= [−x·cos x](0..π) + ∫(0..π) cos x dx
= (π) + 0 = π例 2：解 y' + y/x = x²（一阶线性）
P = 1/x，∫P dx = ln x，e^(∫P dx) = x
y = x⁻¹·[∫x²·x dx + C] = x⁻¹·(x⁴/4 + C) = x³/4 + C/x10. 易错点清单
- 不定积分别忘了
+C； ∫1/x dx = ln|x|（带绝对值）；- 换元时注意积分上下限同步替换（定积分）；
- 分部积分
u、v选错会越积越复杂； - 二阶非齐次特解与齐次通解“撞根“时乘
x或x²。