高等数学 · 导数与微分
高等数学 · 导数与微分
考研高频板块：一元函数微分学。核心是 定义 + 公式 + 中值定理 + 应用 四件事。
1. 导数定义
函数 y = f(x) 在 x₀ 处的导数：
f'(x₀) = lim(Δx→0) [f(x₀+Δx) − f(x₀)] / Δx
= lim(x→x₀) [f(x) − f(x₀)] / (x − x₀)左导数 / 右导数
| 名称 | 定义 | 记号 |
|---|---|---|
| 左导数 | lim(x→x₀⁻) [f(x)−f(x₀)]/(x−x₀) | f'₋(x₀) |
| 右导数 | lim(x→x₀⁺) [f(x)−f(x₀)]/(x−x₀) | f'₊(x₀) |
可导 ⇔ 左导数 = 右导数。
可导与连续的关系
可导 ⇒ 连续；连续 ⇏ 可导（反例：
y=|x|在x=0连续但不可导）。
常用等价形式（求极限题）：
f'(x₀) = lim(h→0) [f(x₀+h) − f(x₀)] / h2. 基本求导公式表（必背）
| 函数 | 导数 | 函数 | 导数 |
|---|---|---|---|
C（常数） | 0 | x^μ | μ·x^(μ−1) |
a^x | a^x·ln a | e^x | e^x |
log_a x | 1/(x·ln a) | ln x | 1/x |
sin x | cos x | cos x | −sin x |
tan x | sec²x | cot x | −csc²x |
sec x | sec x·tan x | csc x | −csc x·cot x |
arcsin x | 1/√(1−x²) | arccos x | −1/√(1−x²) |
arctan x | 1/(1+x²) | arccot x | −1/(1+x²) |
3. 求导法则
四则运算法则
(u ± v)' = u' ± v'
(uv)' = u'v + uv' （乘积）
(u/v)' = (u'v − uv')/v² （商，v ≠ 0）复合函数求导（链式法则）
y = f(g(x)) ⇒ y' = f'(g(x)) · g'(x)其他常用方法
| 方法 | 适用 | 要点 |
|---|---|---|
| 隐函数求导 | F(x,y)=0 | 方程两边对 x 求导，把 y 看作 y(x) |
| 参数方程求导 | x=φ(t), y=ψ(t) | dy/dx = ψ'(t)/φ'(t)；二阶：d²y/dx² = d(dy/dx)/dt ÷ dx/dt |
| 反函数求导 | x=f(y) | (f⁻¹)'(y) = 1/f'(x) |
| 对数求导法 | 幂指函数 / 多因子乘除 | 两边取 ln 再求导 |
幂指函数：y = u(x)^v(x) ⇒ ln y = v·ln u，再求导。
4. 高阶导数
莱布尼茨公式
(uv)^(n) = Σ(k=0..n) C(n,k) · u^(k) · v^(n−k)常见高阶导数
| 函数 | n 阶导数 |
|---|---|
e^(ax) | aⁿ·e^(ax) |
sin(ax+b) | aⁿ·sin(ax+b + nπ/2) |
cos(ax+b) | aⁿ·cos(ax+b + nπ/2) |
ln(1+x) | (−1)^(n−1)·(n−1)!/(1+x)ⁿ |
1/(ax+b) | (−1)ⁿ·n!·aⁿ/(ax+b)^(n+1) |
5. 微分
dy = f'(x)·dx
Δy ≈ dy = f'(x₀)·Δx （当 Δx → 0）可微 ⇔ 可导（一元函数）。微分用于近似计算：f(x₀+Δx) ≈ f(x₀) + f'(x₀)·Δx。
6. 中值定理（三大定理 + 洛必达）
| 定理 | 条件 | 结论 |
|---|---|---|
| 罗尔 Rolle | [a,b] 连续、(a,b) 可导、f(a)=f(b) | ∃ξ∈(a,b)：f’(ξ)=0 |
| 拉格朗日 Lagrange | [a,b] 连续、(a,b) 可导 | ∃ξ：f(b)−f(a)=f’(ξ)(b−a) |
| 柯西 Cauchy | 两函数满足罗尔条件且 g’(x)≠0 | ∃ξ：[f(b)−f(a)]/[g(b)−g(a)] = f’(ξ)/g’(ξ) |
洛必达法则
0/0 或 ∞/∞ 型：lim f/g = lim f'/g'（满足条件时）。
其他未定式转化：0·∞ → 0/0、∞−∞ → 通分、1^∞ / 0⁰ / ∞⁰ → 取 ln。
7. 导数应用
单调性与极值
f'(x) > 0 ⇒ f 递增；f'(x) < 0 ⇒ f 递减
极值点：驻点（f'=0）或不可导点凹凸性与拐点
f''(x) > 0 ⇒ 凹（下凸）；f''(x) < 0 ⇒ 凸（上凸）
拐点：f'' 变号处渐近线
| 类型 | 条件 | 方程 |
|---|---|---|
| 水平 | lim f(x) = A（x→∞） | y = A |
| 垂直 | lim f(x) = ∞（x→x₀） | x = x₀ |
| 斜 | lim f(x)/x = k，lim [f(x)−kx] = b | y = kx + b |
最值步骤
- 求驻点与不可导点；
- 比较端点、驻点、不可导点函数值；
- 取最大 / 最小。
8. 考研常考题型
- 用导数定义求极限（凑定义式）；
- 分段函数在分段点可导性讨论；
- 中值定理证明题（构造辅助函数：
F(x)=f(x)−f(a)−...）； - 不等式证明（拉格朗日中值 / 单调性）；
- 参数方程与隐函数二阶导；
- 极值、最值、拐点、渐近线的综合题。
例题速览
例 1：设 f(x)=x²sin(1/x) (x≠0)，f(0)=0，讨论 x=0 处可导性。
f'(0) = lim(h→0) [h²sin(1/h) − 0]/h = lim h·sin(1/h) = 0
⇒ 可导，且 f'(0)=0。例 2：证明 e^x ≥ 1 + x（x∈R）。
令 F(x)=e^x − x − 1，F(0)=0，F'(x)=e^x−1。
x>0 时 F'>0 递增，x<0 时 F'<0 递减 ⇒ x=0 为最小值 ⇒ F(x)≥0。9. 易错点清单
- 可导必连续，连续不一定可导（尖点）；
- 复合函数求导别漏内层；
- 隐函数二阶导要先求一阶导表达式再对 x 求导；
- 洛必达必须验证型别，且每次使用后检查是否仍为未定式；
- 极值点未必是驻点（不可导点也可以是极值点）。