线性代数 · 核心章节
线性代数 · 核心章节
线代脉络：行列式 → 矩阵 → 向量组 → 方程组 → 特征值 → 二次型，前四章是后两章的工具。
1. 行列式
定义与性质
det(A) = Σ σ(p) a₁p₁ a₂p₂ … aₙpₙ核心性质：
|Aᵀ| = |A|- 两行（列）互换，行列式变号；
- 某行乘以 k，行列式乘以 k；
- 两行成比例 ⇒ 行列式为 0；
- 某行加另一行的 k 倍，值不变；
|AB| = |A|·|B|；|A⁻¹| = 1/|A|；|kA| = kⁿ|A|
展开定理（代数余子式）
按第 i 行展开：|A| = Σ(j) aᵢⱼ·Aᵢⱼ特殊行列式
| 类型 | 结果 |
|---|---|
| 上/下三角 | 主对角线乘积 |
| 对角 | 对角线乘积 |
| 范德蒙德 | ∏(xⱼ−xᵢ)（i<j） |
| 副对角 | (−1)^(n(n−1)/2)·∏aᵢ,ₙ₋ᵢ₊₁ |
克拉默法则
Ax=b 且 |A|≠0 时：xᵢ = |Aᵢ|/|A|（Aᵢ 为替换第 i 列）。
2. 矩阵
运算
(AB)C = A(BC)；A(B+C) = AB + AC
(AB)ᵀ = BᵀAᵀ；(A+B)ᵀ = Aᵀ+Bᵀ
|AB| = |A||B|逆矩阵
A⁻¹ 存在 ⇔ |A| ≠ 0 ⇔ A 可逆 ⇔ r(A) = n
A⁻¹ = A*/|A|（伴随矩阵法）
(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹；(Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ常用公式：A·A* = |A|E ⇒ A* = |A|A⁻¹。
初等变换与初等矩阵
初等行变换不改变秩；初等矩阵左乘 = 行变换，右乘 = 列变换。
秩
r(A)：非零子式的最高阶数
r(A) ≤ min(m,n)；r(A+B) ≤ r(A)+r(B)
r(AB) ≤ min(r(A), r(B))；r(A)+r(B) − n ≤ r(AB)
r(A)=r(Aᵀ)；r(kA)=r(A)（k≠0）3. 向量组
线性相关 / 无关
α₁,…,αₛ 线性相关 ⇔ 存在不全为 0 的 kᵢ 使 Σ kᵢαᵢ = 0
无关 ⇔ 只有全 0 系数成立判定：
s > n（n 维向量）必相关；- 含零向量 ⇒ 相关；
- 部分相关 ⇒ 整体相关；整体无关 ⇒ 部分无关；
- 等价向量组秩相同。
秩与极大无关组
秩 = 极大线性无关组中向量个数
向量组秩 ≤ 矩阵秩，且 r(α₁,…,αₛ) = r(矩阵)4. 线性方程组
Ax = b（m×n）
解的存在性
| 条件 | 结论 |
|---|---|
| `r(A) < r(A | b)` |
| `r(A) = r(A | b) = n` |
| `r(A) = r(A | b) = r < n` |
齐次 Ax=0：非零解 ⇔ r(A) < n ⇔ |A|=0（方阵）。
解的结构
非齐次通解 = 齐次通解 + 一个特解
齐次通解 = C₁ξ₁ + … + Cₙ₋ᵣξₙ₋ᵣ（基础解系）5. 特征值与特征向量
Ax = λx（x ≠ 0）
特征多项式：|λE − A| = 0重要性质
Σλᵢ = tr(A)（迹）
∏λᵢ = |A|
不同特征值对应的特征向量线性无关
A⁻¹ 特征值 1/λ；Aᵀ 与 A 特征值相同；A^k 特征值 λ^k相似对角化
A ~ Λ ⇔ A 有 n 个线性无关特征向量 ⇔ 每个 k 重特征值对应 k 个线性无关特征向量
P⁻¹AP = diag(λ₁,…,λₙ)，P 的列 = 特征向量
Aⁿ = P·Λⁿ·P⁻¹6. 二次型
f = xᵀAx（A 对称）标准形与规范形
- 配方法 / 正交变换法化标准形；
- 规范形：系数只有
1, −1, 0； - 惯性定理：正、负惯性指数唯一；
- 合同：
CᵀAC = B（C 可逆）⇔ 正负惯性指数相同。
正定判定
| 方法 | 条件 |
|---|---|
| 特征值 | 全为正 |
| 顺序主子式 | 全大于 0 |
| 定义 | ∀x≠0：xᵀAx > 0 |
7. 考研常考题型
- 行列式性质与抽象行列式计算；
- 求逆、伴随矩阵、
A*与A的关系； - 秩的不等式；
- 向量组相关性的参数讨论；
- 含参数方程组的解判定与通解；
- 特征值特征向量、相似对角化、
Aⁿ； - 二次型化标准形、正定判断。
例题速览
例 1：已知 A 三阶，|A|=2，求 |3A⁻¹|。
|3A⁻¹| = 3³·|A⁻¹| = 27·(1/2) = 27/2例 2：A 特征值 1, 2, 3，求 |A²+A+E|。
A 的特征多项式作用于 A：g(λ) = λ²+λ+1
|g(A)| = g(1)·g(2)·g(3) = 3·7·13 = 2738. 易错点清单
(AB)ᵀ = BᵀAᵀ次序互换；|kA| = kⁿ|A|不是k|A|；- 矩阵乘法不满足交换律；
AB=0推不出A=0或B=0；- 相似（存在可逆 P）与合同（对称阵）别混淆；
- 特征向量必须非零。