概率论 · 核心章节
概率论 · 核心章节
概率主线：事件概率 → 随机变量分布 → 数字特征 → 极限定理 → 数理统计。
1. 随机事件与概率
概率公理
0 ≤ P(A) ≤ 1；P(Ω)=1；互斥可加古典概型
P(A) = A 包含的基本事件数 / 总基本事件数（等可能）条件概率与公式
P(A|B) = P(AB)/P(B)
乘法公式：P(AB) = P(A|B)·P(B)
全概率公式：P(B) = Σ P(B|Aᵢ)·P(Aᵢ)（Aᵢ 完备划分）
贝叶斯公式：P(Aᵢ|B) = P(B|Aᵢ)P(Aᵢ) / Σ P(B|Aⱼ)P(Aⱼ)独立
P(AB) = P(A)·P(B) ⇔ A、B 独立互斥 ≠ 独立（互斥通常不独立，除非概率为 0）。
2. 一维随机变量
分布函数
F(x) = P(X ≤ x)
性质：单调不减、右连续、F(−∞)=0、F(+∞)=1
P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a)离散型：常见分布
| 分布 | 参数 | P(X=k) | 期望 | 方差 |
|---|---|---|---|---|
| 0-1 | p | p^k(1−p)^(1−k) | p | p(1−p) |
| 二项 B(n,p) | n,p | C(n,k)p^k(1−p)^(n−k) | np | np(1−p) |
| 泊松 P(λ) | λ | λ^k e^(−λ)/k! | λ | λ |
| 几何 | p | (1−p)^(k−1)p | 1/p | (1−p)/p² |
连续型：常见分布
| 分布 | 密度 | 期望 | 方差 |
|---|---|---|---|
| 均匀 U(a,b) | 1/(b−a) | (a+b)/2 | (b−a)²/12 |
| 指数 E(λ) | λe^(−λx) (x≥0) | 1/λ | 1/λ² |
| 正态 N(μ,σ²) | 1/(σ√2π)·e^(−(x−μ)²/2σ²) | μ | σ² |
正态标准化：Z = (X−μ)/σ ~ N(0,1)。
指数分布无记忆性：P(X>s+t | X>s) = P(X>t)。
3. 二维随机变量
联合 / 边缘 / 条件
边缘分布：fₓ(x) = ∫ f(x,y) dy
条件密度：f(y|x) = f(x,y)/fₓ(x)
X、Y 独立 ⇔ f(x,y) = fₓ(x)·fᵧ(y)（连续型）随机变量函数分布
- 离散和分布：卷积公式；
Z = X+Y（连续独立）：f_z(z) = ∫ fₓ(x)·fᵧ(z−x) dx；- 正态可加性：独立正态之和仍正态；
max(X,Y)/min(X,Y)分布函数法。
4. 数字特征
期望
离散：E(X) = Σ xᵢpᵢ
连续：E(X) = ∫ x·f(x) dx
性质：E(aX+bY+c) = aE(X)+bE(Y)+c（线性）方差
D(X) = E(X²) − [E(X)]²
D(aX+b) = a²D(X)
X、Y 独立：D(X±Y) = D(X)+D(Y)协方差与相关系数
Cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y)
ρ = Cov(X,Y) / (√D(X)·√D(Y))，|ρ| ≤ 1
ρ = 0 ⇔ 不相关（独立 ⇒ 不相关，反之不一定）矩
k 阶原点矩：E(X^k)；k 阶中心矩：E[(X−E(X))^k]5. 大数定律与中心极限定理
| 定理 | 条件 | 结论 |
|---|---|---|
| 切比雪夫不等式 | 存在 E(X)、D(X) | `P( |
| 辛钦大数定律 | 独立同分布，E(X)=μ | 样本均值依概率收敛于 μ |
| 伯努利大数定律 | n 次独立重复 | 频率依概率收敛于 p |
| 独立同分布中心极限定理 | 方差有限 | (ΣXᵢ − nμ)/(σ√n) → N(0,1) |
| 棣莫弗–拉普拉斯 | 二项 B(n,p) | 二项近似正态 N(np, npq) |
6. 数理统计基础
统计量与抽样分布
样本均值 X̄ = (1/n)ΣXᵢ；样本方差 S² = 1/(n−1)·Σ(Xᵢ−X̄)²
总体 N(μ,σ²)：X̄ ~ N(μ, σ²/n)
χ² 分布：Σ[(Xᵢ−μ)/σ]² ~ χ²(n)
t 分布：(X̄−μ)/(S/√n) ~ t(n−1)
F 分布：两独立 χ² 之比参数估计
- 矩估计：用样本矩估计总体矩；
- 最大似然估计：构造似然函数
L(θ)=∏f(xᵢ;θ)，取对数求导令 0； - 无偏性：
E(θ̂)=θ；有效性：方差小者优；一致性：依概率收敛。
假设检验（了解）
原假设 H₀ / 备择 H₁，显著性水平 α
拒绝域：|z| > z_(α/2)（正态总体均值双侧检验）
两类错误：拒真（α）与取伪（β）7. 考研常考题型
- 全概率 / 贝叶斯应用题；
- 分布函数与密度互求、分段讨论；
- 二维联合分布求边缘、条件、独立性；
- 期望方差计算（用性质拆解）；
- 切比雪夫不等式估概率；
- 中心极限定理近似计算（二项/独立同分布）；
- 矩估计与最大似然估计。
例题速览
例 1：X ~ N(2, 4)，求 P(|X−2| < 2)。
P(|X−2| < 2) = P(|Z| < 1) = 2Φ(1) − 1 ≈ 0.6826例 2：X ~ U(0,1)，求 E(X²)。
E(X²) = ∫(0..1) x² dx = 1/38. 易错点清单
- 独立 ⇒ 不相关，不相关 ⇏ 独立（正态联合除外）；
- 方差无线性可加（需独立）；
D(X) = E(X²) − [E(X)]²别算错 E(X²)；- 指数分布无记忆性常考；
- 矩估计 vs 最大似然估计方法别混；
- 样本方差分母是 n−1。