高等数学 · 多元微积分（偏导 / 重积分 / 线面积分）

Suchaharcan — Tue, 11 Aug 2026 00:00:00 +0000

高等数学 · 多元微积分</h1>

考研高数后半程：偏导 → 全微分 → 方向导数/梯度 → 极值 → 重积分 → 线面积分 → 三大公式</strong>。</p> </blockquote>

1. 多元函数极限与连续</h2>
lim((x,y)→(x₀,y₀)) f(x,y) = A</span></span></code></pre> 判断极限不存在</strong>：取两条不同路径（如 y=kx、y=x²），极限不同则不存在。</p> 2. 偏导数</h2> fₓ(x₀,y₀) = lim(Δx→0) [f(x₀+Δx, y₀) − f(x₀,y₀)] / Δx</span></span> fᵧ(x₀,y₀) = lim(Δy→0) [f(x₀, y₀+Δy) − f(x₀,y₀)] / Δy</span></span></code></pre>高阶偏导</h3> fₓₓ、fₓᵧ、fᵧₓ、fᵧᵧ</span></span> 若 fₓᵧ 与 fᵧₓ 连续 ⇒ 二者相等（混合偏导与次序无关）</span></span></code></pre>隐函数偏导</h3> F(x,y,z)=0</code> 确定 z=z(x,y)</code>：</p> ∂z/∂x = −Fₓ/F_z，∂z/∂y = −Fᵧ/F_z</span></span></code></pre> 3. 全微分</h2> dz = fₓ(x,y)·dx + fᵧ(x,y)·dy</span></span></code></pre> 可微 ⇒ 偏导存在；偏导连续 ⇒ 可微；可微 ⇒ 连续。</strong></p> 复合函数链式法则（中间变量法）：</p> z = f(u,v)，u=u(x,y)，v=v(x,y)</span></span> ∂z/∂x = (∂z/∂u)(∂u/∂x) + (∂z/∂v)(∂v/∂x)</span></span></code></pre> 4. 方向导数与梯度</h2> 方向导数 ∂f/∂l = fₓ·cos α + fᵧ·cos β</span></span> 梯度 grad f = (fₓ, fᵧ)</span></span></code></pre> 梯度方向是函数增长最快的方向</strong>，其模为方向导数最大值。</p> 5. 多元函数极值</h2> 无条件极值（二阶偏导判别）</h3> 驻点 (x₀,y₀)</code>：fₓ=fᵧ=0</code>，记</p> A = fₓₓ，B = fₓᵧ，C = fᵧᵧ</span></span> AC − B² > 0 且 A < 0 ⇒ 极大；AC − B² > 0 且 A > 0 ⇒ 极小</span></span> AC − B² < 0 ⇒ 非极值（鞍点）；AC − B² = 0 ⇒ 需另判</span></span></code></pre>条件极值（拉格朗日乘数法）</h3> 在 φ(x,y)=0 下求 f(x,y) 极值：</span></span> L(x,y,λ) = f(x,y) + λ·φ(x,y)</span></span> 解 Lₓ=Lᵧ=L_λ=0</span></span></code></pre> 6. 二重积分</h2> ∬(D) f(x,y) dxdy</span></span></code></pre>直角坐标</h3> 区域类型</th> 积分次序</th></tr></thead> X 型</td> ∫(a..b) dx ∫(y₁(x)..y₂(x)) f dy</code></td></tr> Y 型</td> ∫(c..d) dy ∫(x₁(y)..x₂(y)) f dx</code></td></tr> </tbody></table> 极坐标</h3> x = r·cos θ，y = r·sin θ，dxdy = r·drdθ</span></span></code></pre> 适合圆域、被积函数含 x²+y²</code>。</p> 对称性</h3> D 关于 x 轴对称：f 关于 y 为奇 ⇒ 0；为偶 ⇒ 2 倍</span></span> D 关于 y=x 对称：∬f(x,y) = ∬f(y,x)</span></span></code></pre> 7. 三重积分</h2> 方法</th> 适用</th> 公式</th></tr></thead> 先一后二（投影法）</td> 一般区域</td> ∫∫ dxdy ∫(z₁..z₂) f dz</code></td></tr> 先二后一（截面法）</td> 旋转体</td> ∫(a..b) dz ∬(D_z) f dxdy</code></td></tr> 柱坐标</td> 旋转体</td> x=r cosθ, y=r sinθ, z=z</code>，dv = r drdθdz</td></tr> 球坐标</td> 球域</td> x=r sinφ cosθ, …</code>，dv = r² sinφ drdφdθ</td></tr> </tbody></table> 8. 曲线积分</h2> 第一类（对弧长）</h3> ∫(L) f(x,y) ds，参数化 x=x(t),y=y(t)：</span></span> ds = √(x'² + y'²) dt</span></span></code></pre> 与方向无关，物理意义：质量、弧长。</p> 第二类（对坐标）</h3> ∫(L) P dx + Q dy = ∫ P·x'(t) dt + Q·y'(t) dt</span></span></code></pre> 与方向有关。</p> 格林公式</h3> ∮(L⁺) P dx + Q dy = ∬(D) (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dxdy</span></span></code></pre> 与路径无关 ⇔ ∂P/∂y = ∂Q/∂x ⇔ 存在势函数 u 使 du = P dx + Q dy</strong>。</p> 9. 曲面积分</h2> 第一类（对面积）</h3> ∬(Σ) f dS = ∬(D) f(x,y,z(x,y))·√(1+zₓ²+zᵧ²) dxdy</span></span></code></pre>第二类（对坐标）</h3> ∬(Σ) P dydz + Q dzdx + R dxdy，定向曲面，与侧有关</span></span></code></pre>高斯公式（通量）</h3> ∯(Σ) P dydz + Q dzdx + R dxdy = ∭(Ω) (∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z) dv</span></span></code></pre>斯托克斯公式（环量）</h3> ∮(L) P dx + Q dy + R dz = ∬(Σ) rot F · n dS</span></span></code></pre> 10. 考研常考题型</h2> 二重积分换序 / 极坐标转换；</li> 对称性化简重积分；</li> 条件极值（拉格朗日）应用题；</li> 格林公式补线（挖洞：奇点处小圆）；</li> 高斯公式补面、方向（内侧/外侧）；</li> 方向导数与梯度求最值方向。</li> </ol> 例题速览</h3> 例 1</strong>：∬(D) (x²+y²) dxdy</code>，D 为 x²+y² ≤ 1</code> 第一象限。</p> 极坐标：∫(0..π/2) dθ ∫(0..1) r²·r dr = (π/2)·(1/4) = π/8</span></span></code></pre> 例 2</strong>：求 f(x,y)=x²+y²</code> 在 x+y=1</code> 下的最小值。</p> L = x²+y² + λ(x+y−1)</span></span> 2x+λ=0，2y+λ=0，x+y=1 ⇒ x=y=1/2</span></span> 最小值 = 1/4 + 1/4 = 1/2</span></span></code></pre> 11. 易错点清单</h2> 混合偏导相等需先验证连续；</li> 二重积分换序必画区域图；</li> 极坐标别漏因子 r</code>；</li> 第二类曲线/曲面积分注意方向与侧；</li> 格林/高斯公式使用前检查封闭性与奇点。</li> </ul> 上一篇：一元微积分</a> ｜下一篇：线性代数</a></p> </blockquote> 高等数学 · 一元微积分（积分学 + 微分方程） Suchaharcan — Tue, 11 Aug 2026 00:00:00 +0000 高等数学 · 一元微积分（积分学 + 微分方程）</h1> 考研高频板块：一元函数积分学 + 常微分方程。掌握基本积分表 → 换元/分部 → 定积分工具 → 应用</strong> 的主线。</p> </blockquote> 1. 原函数与不定积分</h2> ∫ f(x) dx = F(x) + C （其中 F'(x) = f(x)）</span></span></code></pre> 性质：</p> ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f dx ± ∫ g dx</span></span> ∫ k·f(x) dx = k·∫ f(x) dx</span></span> [∫ f(x) dx]' = f(x)</span></span></code></pre>基本积分表（必背）</h3> 被积函数</th> 积分</th></tr></thead> x^μ</code>（μ≠−1）</td> x^(μ+1)/(μ+1) + C</code></td></tr> 1/x</code></td> `ln</td></tr> e^x</code></td> e^x + C</code></td></tr> a^x</code></td> a^x/ln a + C</code></td></tr> sin x</code></td> −cos x + C</code></td></tr> cos x</code></td> sin x + C</code></td></tr> sec²x</code></td> tan x + C</code></td></tr> csc²x</code></td> −cot x + C</code></td></tr> 1/(1+x²)</code></td> arctan x + C</code></td></tr> 1/√(1−x²)</code></td> arcsin x + C</code></td></tr> sec x·tan x</code></td> sec x + C</code></td></tr> tan x</code></td> `ln</td></tr> </tbody></table> 2. 换元积分法</h2> 第一类换元（凑微分）</h3> ∫ f(φ(x))·φ'(x) dx = ∫ f(u) du，u = φ(x)</span></span></code></pre> 常见凑微分：</p> x dx = ½ d(x²)；1/x dx = d(ln x)；e^x dx = d(e^x)</span></span> cos x dx = d(sin x)；1/√(1−x²) dx = d(arcsin x)</span></span></code></pre>第二类换元（去根号）</h3> 含根式</th> 换元</th></tr></thead> √(a²−x²)</code></td> x = a·sin t</code></td></tr> √(a²+x²)</code></td> x = a·tan t</code></td></tr> √(x²−a²)</code></td> x = a·sec t</code></td></tr> √(ax+b)</code></td> t = √(ax+b)</code></td></tr> </tbody></table> 3. 分部积分法</h2> ∫ u dv = uv − ∫ v du</span></span></code></pre> 选择 u 的口诀（反对幂指三）</strong>：反三角函数 > 对数 > 幂函数 > 指数 > 三角，越靠前越优先当 u。</p> 典型：</p> ∫ x·e^x dx = x·e^x − e^x + C</span></span> ∫ ln x dx = x·ln x − x + C</span></span> ∫ x·sin x dx = −x·cos x + sin x + C</span></span></code></pre> 4. 有理函数积分</h2> ∫ P(x)/Q(x) dx：先真分式，再部分分式分解：</span></span> 1/(x−a)(x−b) = A/(x−a) + B/(x−b)</span></span></code></pre> 常用技巧：分母配方 + 凑微分。</p> 5. 定积分</h2> 定义（黎曼和）</h3> ∫(a..b) f(x) dx = lim(λ→0) Σ f(ξᵢ)·Δxᵢ</span></span></code></pre>基本性质</h3> ∫(a..b) f dx = −∫(b..a) f dx</span></span> ∫(a..b) [f±g] dx = ∫f dx ± ∫g dx</span></span> ∫(a..b) f dx = ∫(a..c) f dx + ∫(c..b) f dx</span></span> f ≤ g ⇒ ∫f dx ≤ ∫g dx</span></span> |∫(a..b) f dx| ≤ ∫(a..b) |f| dx</span></span></code></pre>积分中值定理</h3> ∃ξ∈[a,b]：∫(a..b) f(x) dx = f(ξ)·(b−a)</span></span></code></pre>牛顿–莱布尼茨公式</h3> F'(x) = f(x) ⇒ ∫(a..b) f(x) dx = F(b) − F(a)</span></span></code></pre>变上限积分</h3> Φ(x) = ∫(a..x) f(t) dt ⇒ Φ'(x) = f(x)</span></span> [∫(a..φ(x)) f(t) dt]' = f(φ(x))·φ'(x)</span></span></code></pre>常用对称性</h3> f 为奇函数：∫(−a..a) f dx = 0</span></span> f 为偶函数：∫(−a..a) f dx = 2·∫(0..a) f dx</span></span></code></pre>华里士（点火）公式</h3> ∫(0..π/2) sinⁿx dx = ∫(0..π/2) cosⁿx dx</span></span> n 为奇数：(n−1)!!/n!!</span></span> n 为偶数：(n−1)!!/n!! · π/2</span></span></code></pre> 6. 反常积分</h2> 类型</th> 定义</th> 收敛条件举例</th></tr></thead> 无穷限</td> ∫(a..+∞) f dx = lim(b→+∞)∫(a..b) f dx</code></td> ∫(1..∞) 1/x^p dx</code>：p>1 收敛，p≤1 发散</td></tr> 瑕积分</td> 无界点处取极限</td> ∫(0..1) 1/x^p dx</code>：p<1 收敛，p≥1 发散</td></tr> </tbody></table> 比较判别法 / 极限比较法</strong>：与 1/x^p</code> 比较。</p> 7. 定积分应用</h2> 应用</th> 公式</th></tr></thead> 平面面积</td> `A = ∫(a..b)</td></tr> 旋转体体积（绕 x 轴）</td> V = π∫(a..b) [f(x)]² dx</code></td></tr> 旋转体体积（柱壳）</td> V = 2π∫(a..b) x·f(x) dx</code></td></tr> 曲线弧长</td> s = ∫(a..b) √(1+[f'(x)]²) dx</code></td></tr> 旋转体侧面积</td> S = 2π∫(a..b) f(x)·√(1+[f'(x)]²) dx</code></td></tr> 变力做功 / 水压力</td> 微元法：dW = F(x) dx</code></td></tr> </tbody></table> 8. 常微分方程</h2> 一阶方程</h3> 类型</th> 形式</th> 解法</th></tr></thead> 可分离变量</td> dy/dx = f(x)·g(y)</code></td> 分离后两边积分</td></tr> 齐次方程</td> dy/dx = φ(y/x)</code></td> 令 u = y/x</code> 化为可分离</td></tr> 一阶线性</td> y' + P(x)y = Q(x)</code></td> 公式：y = e^(−∫P dx)·[∫Q·e^(∫P dx) dx + C]</code></td></tr> 伯努利</td> y' + P(x)y = Q(x)·yⁿ</code></td> 令 z = y^(1−n)</code> 化为一阶线性</td></tr> </tbody></table> 二阶常系数线性方程</h3> y'' + p·y' + q·y = f(x)</span></span></code></pre> 齐次</strong>（f(x)=0</code>）：特征方程 r² + pr + q = 0</code></p> 特征根</th> 通解</th></tr></thead> 两不等实根 r₁,r₂</code></td> C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x)</code></td></tr> 重根 r</code></td> (C₁ + C₂x)·e^(rx)</code></td></tr> 共轭复根 α±βi</code></td> e^(αx)·(C₁cos βx + C₂sin βx)</code></td></tr> </tbody></table> 非齐次</strong>：通解 = 齐次通解 + 特解（待定系数法按 f(x)</code> 类型设特解，含指数/多项式/三角）。</p> 9. 考研常考题型</h2> 不定积分计算（换元 + 分部组合）；</li> 对称区间定积分（奇偶性秒杀）；</li> 变上限积分求导与极限；</li> 反常积分判敛；</li> 旋转体体积与面积；</li> 一阶线性 / 二阶常系数方程求解（初值问题）；</li> 积分中值定理与夹逼结合的极限题。</li> </ol> 例题速览</h3> 例 1</strong>：∫(0..π) x·sin x dx</code></p> 分部积分：= [−x·cos x](0..π) + ∫(0..π) cos x dx</span></span> = (π) + 0 = π</span></span></code></pre> 例 2</strong>：解 y' + y/x = x²</code>（一阶线性）</p> P = 1/x，∫P dx = ln x，e^(∫P dx) = x</span></span> y = x⁻¹·[∫x²·x dx + C] = x⁻¹·(x⁴/4 + C) = x³/4 + C/x</span></span></code></pre> 10. 易错点清单</h2> 不定积分别忘了 +C</code>；</li> ∫1/x dx = ln|x|</code>（带绝对值）；</li> 换元时注意积分上下限同步替换（定积分）；</li> 分部积分 u、v</code> 选错会越积越复杂；</li> 二阶非齐次特解与齐次通解“撞根“时乘 x</code> 或 x²</code>。</li> </ul> 上一篇：导数与微分</a> ｜下一篇：多元微积分</a></p> </blockquote> 高等数学 · 导数与微分 Suchaharcan — Tue, 11 Aug 2026 00:00:00 +0000 高等数学 · 导数与微分</h1> 考研高频板块：一元函数微分学。核心是定义 + 公式 + 中值定理 + 应用</strong> 四件事。</p> </blockquote> 1. 导数定义</h2> 函数 y = f(x)</code> 在 x₀</code> 处的导数：</p> f'(x₀) = lim(Δx→0) [f(x₀+Δx) − f(x₀)] / Δx</span></span> = lim(x→x₀) [f(x) − f(x₀)] / (x − x₀)</span></span></code></pre>左导数 / 右导数</h3> 名称</th> 定义</th> 记号</th></tr></thead> 左导数</td> lim(x→x₀⁻) [f(x)−f(x₀)]/(x−x₀)</code></td> f'₋(x₀)</code></td></tr> 右导数</td> lim(x→x₀⁺) [f(x)−f(x₀)]/(x−x₀)</code></td> f'₊(x₀)</code></td></tr> </tbody></table> 可导 ⇔ 左导数 = 右导数。</strong></p> 可导与连续的关系</h3> 可导 ⇒ 连续；连续 ⇏ 可导</strong>（反例：y=|x|</code> 在 x=0</code> 连续但不可导）。</p> </blockquote> 常用等价形式（求极限题）：</p> f'(x₀) = lim(h→0) [f(x₀+h) − f(x₀)] / h</span></span></code></pre> 2. 基本求导公式表（必背）</h2> 函数</th> 导数</th> 函数</th> 导数</th></tr></thead> C</code>（常数）</td> 0</code></td> x^μ</code></td> μ·x^(μ−1)</code></td></tr> a^x</code></td> a^x·ln a</code></td> e^x</code></td> e^x</code></td></tr> log_a x</code></td> 1/(x·ln a)</code></td> ln x</code></td> 1/x</code></td></tr> sin x</code></td> cos x</code></td> cos x</code></td> −sin x</code></td></tr> tan x</code></td> sec²x</code></td> cot x</code></td> −csc²x</code></td></tr> sec x</code></td> sec x·tan x</code></td> csc x</code></td> −csc x·cot x</code></td></tr> arcsin x</code></td> 1/√(1−x²)</code></td> arccos x</code></td> −1/√(1−x²)</code></td></tr> arctan x</code></td> 1/(1+x²)</code></td> arccot x</code></td> −1/(1+x²)</code></td></tr> </tbody></table> 3. 求导法则</h2> 四则运算法则</h3> (u ± v)' = u' ± v'</span></span> (uv)' = u'v + uv' （乘积）</span></span> (u/v)' = (u'v − uv')/v² （商，v ≠ 0）</span></span></code></pre>复合函数求导（链式法则）</h3> y = f(g(x)) ⇒ y' = f'(g(x)) · g'(x)</span></span></code></pre>其他常用方法</h3> 方法</th> 适用</th> 要点</th></tr></thead> 隐函数求导</td> F(x,y)=0</code></td> 方程两边对 x 求导，把 y 看作 y(x)</td></tr> 参数方程求导</td> x=φ(t), y=ψ(t)</code></td> dy/dx = ψ'(t)/φ'(t)</code>；二阶：d²y/dx² = d(dy/dx)/dt ÷ dx/dt</code></td></tr> 反函数求导</td> x=f(y)</code></td> (f⁻¹)'(y) = 1/f'(x)</code></td></tr> 对数求导法</td> 幂指函数 / 多因子乘除</td> 两边取 ln 再求导</td></tr> </tbody></table> 幂指函数</strong>：y = u(x)^v(x)</code> ⇒ ln y = v·ln u</code>，再求导。</p> 4. 高阶导数</h2> 莱布尼茨公式</h3> (uv)^(n) = Σ(k=0..n) C(n,k) · u^(k) · v^(n−k)</span></span></code></pre>常见高阶导数</h3> 函数</th> n 阶导数</th></tr></thead> e^(ax)</code></td> aⁿ·e^(ax)</code></td></tr> sin(ax+b)</code></td> aⁿ·sin(ax+b + nπ/2)</code></td></tr> cos(ax+b)</code></td> aⁿ·cos(ax+b + nπ/2)</code></td></tr> ln(1+x)</code></td> (−1)^(n−1)·(n−1)!/(1+x)ⁿ</code></td></tr> 1/(ax+b)</code></td> (−1)ⁿ·n!·aⁿ/(ax+b)^(n+1)</code></td></tr> </tbody></table> 5. 微分</h2> dy = f'(x)·dx</span></span> Δy ≈ dy = f'(x₀)·Δx （当 Δx → 0）</span></span></code></pre> 可微 ⇔ 可导</strong>（一元函数）。微分用于近似计算：f(x₀+Δx) ≈ f(x₀) + f'(x₀)·Δx</code>。</p> 6. 中值定理（三大定理 + 洛必达）</h2> 定理</th> 条件</th> 结论</th></tr></thead> 罗尔 Rolle</td> [a,b] 连续、(a,b) 可导、f(a)=f(b)</td> ∃ξ∈(a,b)：f’(ξ)=0</td></tr> 拉格朗日 Lagrange</td> [a,b] 连续、(a,b) 可导</td> ∃ξ：f(b)−f(a)=f’(ξ)(b−a)</td></tr> 柯西 Cauchy</td> 两函数满足罗尔条件且 g’(x)≠0</td> ∃ξ：[f(b)−f(a)]/[g(b)−g(a)] = f’(ξ)/g’(ξ)</td></tr> </tbody></table> 洛必达法则</h3> 0/0</code> 或 ∞/∞</code> 型：lim f/g = lim f'/g'</code>（满足条件时）。</p> 其他未定式转化：0·∞ → 0/0</code>、∞−∞ → 通分</code>、1^∞ / 0⁰ / ∞⁰ → 取 ln</code>。</p> 7. 导数应用</h2> 单调性与极值</h3> f'(x) > 0 ⇒ f 递增；f'(x) < 0 ⇒ f 递减</span></span> 极值点：驻点（f'=0）或不可导点</span></span></code></pre>凹凸性与拐点</h3> f''(x) > 0 ⇒ 凹（下凸）；f''(x) < 0 ⇒ 凸（上凸）</span></span> 拐点：f'' 变号处</span></span></code></pre>渐近线</h3> 类型</th> 条件</th> 方程</th></tr></thead> 水平</td> lim f(x) = A</code>（x→∞）</td> y = A</code></td></tr> 垂直</td> lim f(x) = ∞</code>（x→x₀）</td> x = x₀</code></td></tr> 斜</td> lim f(x)/x = k</code>，lim [f(x)−kx] = b</code></td> y = kx + b</code></td></tr> </tbody></table> 最值步骤</h3> 求驻点与不可导点；</li> 比较端点、驻点、不可导点函数值；</li> 取最大 / 最小。</li> </ol> 8. 考研常考题型</h2> 用导数定义求极限（凑定义式）；</li> 分段函数在分段点可导性讨论；</li> 中值定理证明题（构造辅助函数：F(x)=f(x)−f(a)−...</code>）；</li> 不等式证明（拉格朗日中值 / 单调性）；</li> 参数方程与隐函数二阶导；</li> 极值、最值、拐点、渐近线的综合题。</li> </ol> 例题速览</h3> 例 1</strong>：设 f(x)=x²sin(1/x) (x≠0)</code>，f(0)=0</code>，讨论 x=0</code> 处可导性。</p> f'(0) = lim(h→0) [h²sin(1/h) − 0]/h = lim h·sin(1/h) = 0</span></span> ⇒ 可导，且 f'(0)=0。</span></span></code></pre> 例 2</strong>：证明 e^x ≥ 1 + x</code>（x∈R）。</p> 令 F(x)=e^x − x − 1，F(0)=0，F'(x)=e^x−1。</span></span> x>0 时 F'>0 递增，x<0 时 F'<0 递减 ⇒ x=0 为最小值 ⇒ F(x)≥0。</span></span></code></pre> 9. 易错点清单</h2> 可导必连续，连续不一定可导（尖点）；</li> 复合函数求导别漏内层；</li> 隐函数二阶导要先求一阶导表达式再对 x 求导；</li> 洛必达必须验证型别，且每次使用后检查是否仍为未定式；</li> 极值点未必是驻点（不可导点也可以是极值点）。</li> </ul> 下一篇：一元微积分（积分学 + 微分方程）</a></p> </blockquote>

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高等数学 · 多元微积分（偏导 / 重积分 / 线面积分）

5. 多元函数极值</h2>

8. 曲线积分</h2>

9. 曲面积分</h2>

高等数学 · 一元微积分（积分学 + 微分方程）

2. 换元积分法</h2>

5. 定积分</h2>

8. 常微分方程</h2>

高等数学 · 导数与微分

3. 求导法则</h2>

4. 高阶导数</h2>

7. 导数应用</h2>