高等数学 · 导数与微分

Suchaharcan — Tue, 11 Aug 2026 00:00:00 +0000

高等数学 · 导数与微分</h1>

考研高频板块：一元函数微分学。核心是 定义 + 公式 + 中值定理 + 应用</strong> 四件事。</p> </blockquote>

1. 导数定义</h2>
函数 y = f(x)</code> 在 x₀</code> 处的导数：</p>
f'(x₀) = lim(Δx→0) [f(x₀+Δx) − f(x₀)] / Δx</span></span> = lim(x→x₀) [f(x) − f(x₀)] / (x − x₀)</span></span></code></pre>左导数 / 右导数</h3> 名称</th> 定义</th> 记号</th></tr></thead> 左导数</td> lim(x→x₀⁻) [f(x)−f(x₀)]/(x−x₀)</code></td> f'₋(x₀)</code></td></tr> 右导数</td> lim(x→x₀⁺) [f(x)−f(x₀)]/(x−x₀)</code></td> f'₊(x₀)</code></td></tr> </tbody></table> 可导 ⇔ 左导数 = 右导数。</strong></p> 可导与连续的关系</h3> 可导 ⇒ 连续；连续 ⇏ 可导</strong>（反例：y=|x|</code> 在 x=0</code> 连续但不可导）。</p> </blockquote> 常用等价形式（求极限题）：</p> f'(x₀) = lim(h→0) [f(x₀+h) − f(x₀)] / h</span></span></code></pre> 2. 基本求导公式表（必背）</h2> 函数</th> 导数</th> 函数</th> 导数</th></tr></thead> C</code>（常数）</td> 0</code></td> x^μ</code></td> μ·x^(μ−1)</code></td></tr> a^x</code></td> a^x·ln a</code></td> e^x</code></td> e^x</code></td></tr> log_a x</code></td> 1/(x·ln a)</code></td> ln x</code></td> 1/x</code></td></tr> sin x</code></td> cos x</code></td> cos x</code></td> −sin x</code></td></tr> tan x</code></td> sec²x</code></td> cot x</code></td> −csc²x</code></td></tr> sec x</code></td> sec x·tan x</code></td> csc x</code></td> −csc x·cot x</code></td></tr> arcsin x</code></td> 1/√(1−x²)</code></td> arccos x</code></td> −1/√(1−x²)</code></td></tr> arctan x</code></td> 1/(1+x²)</code></td> arccot x</code></td> −1/(1+x²)</code></td></tr> </tbody></table> 3. 求导法则</h2> 四则运算法则</h3> (u ± v)' = u' ± v'</span></span> (uv)' = u'v + uv' （乘积）</span></span> (u/v)' = (u'v − uv')/v² （商，v ≠ 0）</span></span></code></pre>复合函数求导（链式法则）</h3> y = f(g(x)) ⇒ y' = f'(g(x)) · g'(x)</span></span></code></pre>其他常用方法</h3> 方法</th> 适用</th> 要点</th></tr></thead> 隐函数求导</td> F(x,y)=0</code></td> 方程两边对 x 求导，把 y 看作 y(x)</td></tr> 参数方程求导</td> x=φ(t), y=ψ(t)</code></td> dy/dx = ψ'(t)/φ'(t)</code>；二阶：d²y/dx² = d(dy/dx)/dt ÷ dx/dt</code></td></tr> 反函数求导</td> x=f(y)</code></td> (f⁻¹)'(y) = 1/f'(x)</code></td></tr> 对数求导法</td> 幂指函数 / 多因子乘除</td> 两边取 ln 再求导</td></tr> </tbody></table> 幂指函数</strong>：y = u(x)^v(x)</code> ⇒ ln y = v·ln u</code>，再求导。</p> 4. 高阶导数</h2> 莱布尼茨公式</h3> (uv)^(n) = Σ(k=0..n) C(n,k) · u^(k) · v^(n−k)</span></span></code></pre>常见高阶导数</h3> 函数</th> n 阶导数</th></tr></thead> e^(ax)</code></td> aⁿ·e^(ax)</code></td></tr> sin(ax+b)</code></td> aⁿ·sin(ax+b + nπ/2)</code></td></tr> cos(ax+b)</code></td> aⁿ·cos(ax+b + nπ/2)</code></td></tr> ln(1+x)</code></td> (−1)^(n−1)·(n−1)!/(1+x)ⁿ</code></td></tr> 1/(ax+b)</code></td> (−1)ⁿ·n!·aⁿ/(ax+b)^(n+1)</code></td></tr> </tbody></table> 5. 微分</h2> dy = f'(x)·dx</span></span> Δy ≈ dy = f'(x₀)·Δx （当 Δx → 0）</span></span></code></pre> 可微 ⇔ 可导</strong>（一元函数）。微分用于近似计算：f(x₀+Δx) ≈ f(x₀) + f'(x₀)·Δx</code>。</p> 6. 中值定理（三大定理 + 洛必达）</h2> 定理</th> 条件</th> 结论</th></tr></thead> 罗尔 Rolle</td> [a,b] 连续、(a,b) 可导、f(a)=f(b)</td> ∃ξ∈(a,b)：f’(ξ)=0</td></tr> 拉格朗日 Lagrange</td> [a,b] 连续、(a,b) 可导</td> ∃ξ：f(b)−f(a)=f’(ξ)(b−a)</td></tr> 柯西 Cauchy</td> 两函数满足罗尔条件且 g’(x)≠0</td> ∃ξ：[f(b)−f(a)]/[g(b)−g(a)] = f’(ξ)/g’(ξ)</td></tr> </tbody></table> 洛必达法则</h3> 0/0</code> 或 ∞/∞</code> 型：lim f/g = lim f'/g'</code>（满足条件时）。</p> 其他未定式转化：0·∞ → 0/0</code>、∞−∞ → 通分</code>、1^∞ / 0⁰ / ∞⁰ → 取 ln</code>。</p> 7. 导数应用</h2> 单调性与极值</h3> f'(x) > 0 ⇒ f 递增；f'(x) < 0 ⇒ f 递减</span></span> 极值点：驻点（f'=0）或不可导点</span></span></code></pre>凹凸性与拐点</h3> f''(x) > 0 ⇒ 凹（下凸）；f''(x) < 0 ⇒ 凸（上凸）</span></span> 拐点：f'' 变号处</span></span></code></pre>渐近线</h3> 类型</th> 条件</th> 方程</th></tr></thead> 水平</td> lim f(x) = A</code>（x→∞）</td> y = A</code></td></tr> 垂直</td> lim f(x) = ∞</code>（x→x₀）</td> x = x₀</code></td></tr> 斜</td> lim f(x)/x = k</code>，lim [f(x)−kx] = b</code></td> y = kx + b</code></td></tr> </tbody></table> 最值步骤</h3> 求驻点与不可导点；</li> 比较端点、驻点、不可导点函数值；</li> 取最大 / 最小。</li> </ol> 8. 考研常考题型</h2> 用导数定义求极限（凑定义式）；</li> 分段函数在分段点可导性讨论；</li> 中值定理证明题（构造辅助函数：F(x)=f(x)−f(a)−...</code>）；</li> 不等式证明（拉格朗日中值 / 单调性）；</li> 参数方程与隐函数二阶导；</li> 极值、最值、拐点、渐近线的综合题。</li> </ol> 例题速览</h3> 例 1</strong>：设 f(x)=x²sin(1/x) (x≠0)</code>，f(0)=0</code>，讨论 x=0</code> 处可导性。</p> f'(0) = lim(h→0) [h²sin(1/h) − 0]/h = lim h·sin(1/h) = 0</span></span> ⇒ 可导，且 f'(0)=0。</span></span></code></pre> 例 2</strong>：证明 e^x ≥ 1 + x</code>（x∈R）。</p> 令 F(x)=e^x − x − 1，F(0)=0，F'(x)=e^x−1。</span></span> x>0 时 F'>0 递增，x<0 时 F'<0 递减 ⇒ x=0 为最小值 ⇒ F(x)≥0。</span></span></code></pre> 9. 易错点清单</h2> 可导必连续，连续不一定可导（尖点）；</li> 复合函数求导别漏内层；</li> 隐函数二阶导要先求一阶导表达式再对 x 求导；</li> 洛必达必须验证型别，且每次使用后检查是否仍为未定式；</li> 极值点未必是驻点（不可导点也可以是极值点）。</li> </ul> 下一篇：一元微积分（积分学 + 微分方程）</a></p> </blockquote>

Rocky‘s Blog - Derivative

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3. 求导法则</h2>

4. 高阶导数</h2>

7. 导数应用</h2>