高等数学 · 一元微积分（积分学 + 微分方程）

Suchaharcan — Tue, 11 Aug 2026 00:00:00 +0000

高等数学 · 一元微积分（积分学 + 微分方程）</h1>

考研高频板块：一元函数积分学 + 常微分方程。掌握 基本积分表 → 换元/分部 → 定积分工具 → 应用</strong> 的主线。</p> </blockquote>

1. 原函数与不定积分</h2>
∫ f(x) dx = F(x) + C （其中 F'(x) = f(x)）</span></span></code></pre> 性质：</p> ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f dx ± ∫ g dx</span></span> ∫ k·f(x) dx = k·∫ f(x) dx</span></span> [∫ f(x) dx]' = f(x)</span></span></code></pre>基本积分表（必背）</h3> 被积函数</th> 积分</th></tr></thead> x^μ</code>（μ≠−1）</td> x^(μ+1)/(μ+1) + C</code></td></tr> 1/x</code></td> `ln</td></tr> e^x</code></td> e^x + C</code></td></tr> a^x</code></td> a^x/ln a + C</code></td></tr> sin x</code></td> −cos x + C</code></td></tr> cos x</code></td> sin x + C</code></td></tr> sec²x</code></td> tan x + C</code></td></tr> csc²x</code></td> −cot x + C</code></td></tr> 1/(1+x²)</code></td> arctan x + C</code></td></tr> 1/√(1−x²)</code></td> arcsin x + C</code></td></tr> sec x·tan x</code></td> sec x + C</code></td></tr> tan x</code></td> `ln</td></tr> </tbody></table> 2. 换元积分法</h2> 第一类换元（凑微分）</h3> ∫ f(φ(x))·φ'(x) dx = ∫ f(u) du，u = φ(x)</span></span></code></pre> 常见凑微分：</p> x dx = ½ d(x²)；1/x dx = d(ln x)；e^x dx = d(e^x)</span></span> cos x dx = d(sin x)；1/√(1−x²) dx = d(arcsin x)</span></span></code></pre>第二类换元（去根号）</h3> 含根式</th> 换元</th></tr></thead> √(a²−x²)</code></td> x = a·sin t</code></td></tr> √(a²+x²)</code></td> x = a·tan t</code></td></tr> √(x²−a²)</code></td> x = a·sec t</code></td></tr> √(ax+b)</code></td> t = √(ax+b)</code></td></tr> </tbody></table> 3. 分部积分法</h2> ∫ u dv = uv − ∫ v du</span></span></code></pre> 选择 u 的口诀（反对幂指三）</strong>：反三角函数 > 对数 > 幂函数 > 指数 > 三角，越靠前越优先当 u。</p> 典型：</p> ∫ x·e^x dx = x·e^x − e^x + C</span></span> ∫ ln x dx = x·ln x − x + C</span></span> ∫ x·sin x dx = −x·cos x + sin x + C</span></span></code></pre> 4. 有理函数积分</h2> ∫ P(x)/Q(x) dx：先真分式，再部分分式分解：</span></span> 1/(x−a)(x−b) = A/(x−a) + B/(x−b)</span></span></code></pre> 常用技巧：分母配方 + 凑微分。</p> 5. 定积分</h2> 定义（黎曼和）</h3> ∫(a..b) f(x) dx = lim(λ→0) Σ f(ξᵢ)·Δxᵢ</span></span></code></pre>基本性质</h3> ∫(a..b) f dx = −∫(b..a) f dx</span></span> ∫(a..b) [f±g] dx = ∫f dx ± ∫g dx</span></span> ∫(a..b) f dx = ∫(a..c) f dx + ∫(c..b) f dx</span></span> f ≤ g ⇒ ∫f dx ≤ ∫g dx</span></span> |∫(a..b) f dx| ≤ ∫(a..b) |f| dx</span></span></code></pre>积分中值定理</h3> ∃ξ∈[a,b]：∫(a..b) f(x) dx = f(ξ)·(b−a)</span></span></code></pre>牛顿–莱布尼茨公式</h3> F'(x) = f(x) ⇒ ∫(a..b) f(x) dx = F(b) − F(a)</span></span></code></pre>变上限积分</h3> Φ(x) = ∫(a..x) f(t) dt ⇒ Φ'(x) = f(x)</span></span> [∫(a..φ(x)) f(t) dt]' = f(φ(x))·φ'(x)</span></span></code></pre>常用对称性</h3> f 为奇函数：∫(−a..a) f dx = 0</span></span> f 为偶函数：∫(−a..a) f dx = 2·∫(0..a) f dx</span></span></code></pre>华里士（点火）公式</h3> ∫(0..π/2) sinⁿx dx = ∫(0..π/2) cosⁿx dx</span></span> n 为奇数：(n−1)!!/n!!</span></span> n 为偶数：(n−1)!!/n!! · π/2</span></span></code></pre> 6. 反常积分</h2> 类型</th> 定义</th> 收敛条件举例</th></tr></thead> 无穷限</td> ∫(a..+∞) f dx = lim(b→+∞)∫(a..b) f dx</code></td> ∫(1..∞) 1/x^p dx</code>：p>1 收敛，p≤1 发散</td></tr> 瑕积分</td> 无界点处取极限</td> ∫(0..1) 1/x^p dx</code>：p<1 收敛，p≥1 发散</td></tr> </tbody></table> 比较判别法 / 极限比较法</strong>：与 1/x^p</code> 比较。</p> 7. 定积分应用</h2> 应用</th> 公式</th></tr></thead> 平面面积</td> `A = ∫(a..b)</td></tr> 旋转体体积（绕 x 轴）</td> V = π∫(a..b) [f(x)]² dx</code></td></tr> 旋转体体积（柱壳）</td> V = 2π∫(a..b) x·f(x) dx</code></td></tr> 曲线弧长</td> s = ∫(a..b) √(1+[f'(x)]²) dx</code></td></tr> 旋转体侧面积</td> S = 2π∫(a..b) f(x)·√(1+[f'(x)]²) dx</code></td></tr> 变力做功 / 水压力</td> 微元法：dW = F(x) dx</code></td></tr> </tbody></table> 8. 常微分方程</h2> 一阶方程</h3> 类型</th> 形式</th> 解法</th></tr></thead> 可分离变量</td> dy/dx = f(x)·g(y)</code></td> 分离后两边积分</td></tr> 齐次方程</td> dy/dx = φ(y/x)</code></td> 令 u = y/x</code> 化为可分离</td></tr> 一阶线性</td> y' + P(x)y = Q(x)</code></td> 公式：y = e^(−∫P dx)·[∫Q·e^(∫P dx) dx + C]</code></td></tr> 伯努利</td> y' + P(x)y = Q(x)·yⁿ</code></td> 令 z = y^(1−n)</code> 化为一阶线性</td></tr> </tbody></table> 二阶常系数线性方程</h3> y'' + p·y' + q·y = f(x)</span></span></code></pre> 齐次</strong>（f(x)=0</code>）：特征方程 r² + pr + q = 0</code></p> 特征根</th> 通解</th></tr></thead> 两不等实根 r₁,r₂</code></td> C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x)</code></td></tr> 重根 r</code></td> (C₁ + C₂x)·e^(rx)</code></td></tr> 共轭复根 α±βi</code></td> e^(αx)·(C₁cos βx + C₂sin βx)</code></td></tr> </tbody></table> 非齐次</strong>：通解 = 齐次通解 + 特解（待定系数法按 f(x)</code> 类型设特解，含指数/多项式/三角）。</p> 9. 考研常考题型</h2> 不定积分计算（换元 + 分部组合）；</li> 对称区间定积分（奇偶性秒杀）；</li> 变上限积分求导与极限；</li> 反常积分判敛；</li> 旋转体体积与面积；</li> 一阶线性 / 二阶常系数方程求解（初值问题）；</li> 积分中值定理与夹逼结合的极限题。</li> </ol> 例题速览</h3> 例 1</strong>：∫(0..π) x·sin x dx</code></p> 分部积分：= [−x·cos x](0..π) + ∫(0..π) cos x dx</span></span> = (π) + 0 = π</span></span></code></pre> 例 2</strong>：解 y' + y/x = x²</code>（一阶线性）</p> P = 1/x，∫P dx = ln x，e^(∫P dx) = x</span></span> y = x⁻¹·[∫x²·x dx + C] = x⁻¹·(x⁴/4 + C) = x³/4 + C/x</span></span></code></pre> 10. 易错点清单</h2> 不定积分别忘了 +C</code>；</li> ∫1/x dx = ln|x|</code>（带绝对值）；</li> 换元时注意积分上下限同步替换（定积分）；</li> 分部积分 u、v</code> 选错会越积越复杂；</li> 二阶非齐次特解与齐次通解“撞根“时乘 x</code> 或 x²</code>。</li> </ul> 上一篇：导数与微分</a> ｜下一篇：多元微积分</a></p> </blockquote>

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2. 换元积分法</h2>

5. 定积分</h2>

8. 常微分方程</h2>