概率论 · 核心章节

Suchaharcan — Tue, 11 Aug 2026 00:00:00 +0000

概率论 · 核心章节</h1>

概率主线：事件概率 → 随机变量分布 → 数字特征 → 极限定理 → 数理统计</strong>。</p> </blockquote>

1. 随机事件与概率</h2>
概率公理</h3>
0 ≤ P(A) ≤ 1；P(Ω)=1；互斥可加</span></span></code></pre>古典概型</h3> P(A) = A 包含的基本事件数 / 总基本事件数（等可能）</span></span></code></pre>条件概率与公式</h3> P(A|B) = P(AB)/P(B)</span></span> 乘法公式：P(AB) = P(A|B)·P(B)</span></span> 全概率公式：P(B) = Σ P(B|Aᵢ)·P(Aᵢ)（Aᵢ 完备划分）</span></span> 贝叶斯公式：P(Aᵢ|B) = P(B|Aᵢ)P(Aᵢ) / Σ P(B|Aⱼ)P(Aⱼ)</span></span></code></pre>独立</h3> P(AB) = P(A)·P(B) ⇔ A、B 独立</span></span></code></pre> 互斥 ≠ 独立（互斥通常不独立，除非概率为 0）。</p> 2. 一维随机变量</h2> 分布函数</h3> F(x) = P(X ≤ x)</span></span> 性质：单调不减、右连续、F(−∞)=0、F(+∞)=1</span></span> P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a)</span></span></code></pre>离散型：常见分布</h3> 分布</th> 参数</th> P(X=k)</th> 期望</th> 方差</th></tr></thead> 0-1</td> p</td> p^k(1−p)^(1−k)</td> p</td> p(1−p)</td></tr> 二项 B(n,p)</td> n,p</td> C(n,k)p^k(1−p)^(n−k)</td> np</td> np(1−p)</td></tr> 泊松 P(λ)</td> λ</td> λ^k e^(−λ)/k!</td> λ</td> λ</td></tr> 几何</td> p</td> (1−p)^(k−1)p</td> 1/p</td> (1−p)/p²</td></tr> </tbody></table> 连续型：常见分布</h3> 分布</th> 密度</th> 期望</th> 方差</th></tr></thead> 均匀 U(a,b)</td> 1/(b−a)</td> (a+b)/2</td> (b−a)²/12</td></tr> 指数 E(λ)</td> λe^(−λx) (x≥0)</td> 1/λ</td> 1/λ²</td></tr> 正态 N(μ,σ²)</td> 1/(σ√2π)·e^(−(x−μ)²/2σ²)</td> μ</td> σ²</td></tr> </tbody></table> 正态标准化</strong>：Z = (X−μ)/σ ~ N(0,1)</code>。</p> 指数分布无记忆性</strong>：P(X>s+t | X>s) = P(X>t)</code>。</p> 3. 二维随机变量</h2> 联合 / 边缘 / 条件</h3> 边缘分布：fₓ(x) = ∫ f(x,y) dy</span></span> 条件密度：f(y|x) = f(x,y)/fₓ(x)</span></span> X、Y 独立 ⇔ f(x,y) = fₓ(x)·fᵧ(y)（连续型）</span></span></code></pre>随机变量函数分布</h3> 离散和分布：卷积公式；</li> Z = X+Y</code>（连续独立）：f_z(z) = ∫ fₓ(x)·fᵧ(z−x) dx</code>；</li> 正态可加性</strong>：独立正态之和仍正态；</li> max(X,Y)</code> / min(X,Y)</code> 分布函数法。</li> </ul> 4. 数字特征</h2> 期望</h3> 离散：E(X) = Σ xᵢpᵢ</span></span> 连续：E(X) = ∫ x·f(x) dx</span></span> 性质：E(aX+bY+c) = aE(X)+bE(Y)+c（线性）</span></span></code></pre>方差</h3> D(X) = E(X²) − [E(X)]²</span></span> D(aX+b) = a²D(X)</span></span> X、Y 独立：D(X±Y) = D(X)+D(Y)</span></span></code></pre>协方差与相关系数</h3> Cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y)</span></span> ρ = Cov(X,Y) / (√D(X)·√D(Y))，|ρ| ≤ 1</span></span> ρ = 0 ⇔ 不相关（独立 ⇒ 不相关，反之不一定）</span></span></code></pre>矩</h3> k 阶原点矩：E(X^k)；k 阶中心矩：E[(X−E(X))^k]</span></span></code></pre> 5. 大数定律与中心极限定理</h2> 定理</th> 条件</th> 结论</th></tr></thead> 切比雪夫不等式</td> 存在 E(X)、D(X)</td> `P(</td></tr> 辛钦大数定律</td> 独立同分布，E(X)=μ</td> 样本均值依概率收敛于 μ</td></tr> 伯努利大数定律</td> n 次独立重复</td> 频率依概率收敛于 p</td></tr> 独立同分布中心极限定理</td> 方差有限</td> (ΣXᵢ − nμ)/(σ√n) → N(0,1)</code></td></tr> 棣莫弗–拉普拉斯</td> 二项 B(n,p)</td> 二项近似正态 N(np, npq)</td></tr> </tbody></table> 6. 数理统计基础</h2> 统计量与抽样分布</h3> 样本均值 X̄ = (1/n)ΣXᵢ；样本方差 S² = 1/(n−1)·Σ(Xᵢ−X̄)²</span></span> 总体 N(μ,σ²)：X̄ ~ N(μ, σ²/n)</span></span> χ² 分布：Σ[(Xᵢ−μ)/σ]² ~ χ²(n)</span></span> t 分布：(X̄−μ)/(S/√n) ~ t(n−1)</span></span> F 分布：两独立 χ² 之比</span></span></code></pre>参数估计</h3> 矩估计</strong>：用样本矩估计总体矩；</li> 最大似然估计</strong>：构造似然函数 L(θ)=∏f(xᵢ;θ)</code>，取对数求导令 0；</li> 无偏性：E(θ̂)=θ</code>；有效性：方差小者优；一致性：依概率收敛。</li> </ul> 假设检验（了解）</h3> 原假设 H₀ / 备择 H₁，显著性水平 α</span></span> 拒绝域：|z| > z_(α/2)（正态总体均值双侧检验）</span></span> 两类错误：拒真（α）与取伪（β）</span></span></code></pre> 7. 考研常考题型</h2> 全概率 / 贝叶斯应用题；</li> 分布函数与密度互求、分段讨论；</li> 二维联合分布求边缘、条件、独立性；</li> 期望方差计算（用性质拆解）；</li> 切比雪夫不等式估概率；</li> 中心极限定理近似计算（二项/独立同分布）；</li> 矩估计与最大似然估计。</li> </ol> 例题速览</h3> 例 1</strong>：X ~ N(2, 4)</code>，求 P(|X−2| < 2)</code>。</p> P(|X−2| < 2) = P(|Z| < 1) = 2Φ(1) − 1 ≈ 0.6826</span></span></code></pre> 例 2</strong>：X ~ U(0,1)</code>，求 E(X²)</code>。</p> E(X²) = ∫(0..1) x² dx = 1/3</span></span></code></pre> 8. 易错点清单</h2> 独立 ⇒ 不相关，不相关 ⇏ 独立（正态联合除外）；</li> 方差无线性可加（需独立）；</li> D(X) = E(X²) − [E(X)]²</code> 别算错 E(X²)；</li> 指数分布无记忆性常考；</li> 矩估计 vs 最大似然估计方法别混；</li> 样本方差分母是 n−1。</li> </ul> 上一篇：线性代数</a> ｜下一篇：离散数学</a></p> </blockquote>

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概率论 · 核心章节

1. 随机事件与概率</h2>

2. 一维随机变量</h2>

3. 二维随机变量</h2>

4. 数字特征</h2>

6. 数理统计基础</h2>