考研 408 · 树核心知识点

2026-08-11T00:00:00+00:00

考研 408 · 树核心知识点</h1>

树是 408 数据结构大题高发区：性质 → 遍历 → BST/AVL → 哈夫曼 → 并查集。 </blockquote>

1. 二叉树基本性质</h2>
① 第 i 层至多 2^(i−1) 个结点 ② 深度为 k 的二叉树至多 2^k − 1 个结点 ③ 叶子数 n₀ = 度为 2 结点数 n₂ + 1 ④ 完全二叉树 n 个结点：深度 = ⌊log₂n⌋ + 1 ⑤ 顺序存储（完全二叉树）：i 的左孩子 2i、右孩子 2i+1、父 ⌊i/2⌋</code></pre>二叉树的形态数</h3> n 个结点的不同二叉树形态数 = 卡特兰数 C(n) = C(2n,n)/(n+1)</code></pre> 2. 遍历</h2> 递归序（先/中/后）</h3> 先序：根 → 左 → 右 DLR 中序：左 → 根 → 右 LDR 后序：左 → 右 → 根 LRD 层序：逐层从左到右</code></pre>图示</h3> 1 / \ 2 3 / \ \ 4 5 6 先序: 1 2 4 5 3 6 中序: 4 2 5 1 3 6 后序: 4 5 2 6 3 1 层序: 1 2 3 4 5 6</code></pre>由遍历序列确定二叉树</h3> 必须知道中序 + （先序或后序之一） 先序/后序确定根，中序划分左右子树 层序 + 中序亦可</code></pre>非递归遍历要点</h3> // 先序非递归：栈 push(root); while (!stack.empty()) { node = pop(); visit(node); if (node->right) push(node->right); if (node->left) push(node->left); } // 层序：队列 enqueue(root); while (!queue.empty()) { node = dequeue(); visit(node); if (node->left) enqueue(node->left); if (node->right) enqueue(node->right); }</code></pre> 3. 线索二叉树</h2> 利用空指针域： ltag = 0 左孩子 / 1 前驱；rtag = 0 右孩子 / 1 后继</code></pre> 中序线索化后，可快速找某结点的中序前驱/后继，遍历不需要栈。 4. 二叉排序树 BST</h2> 左子树 < 根 < 右子树</code></pre>操作</th> 平均复杂度</th></tr></thead> 查找 / 插入 / 删除</td> O(log n)（树高）</td></tr> 最坏（退化为链）</td> O(n)</td></tr> </tbody></table> 删除三种情况：叶子直接删；单孩子提升；双孩子用前驱或后继替换。 5. 平衡二叉树 AVL</h2> 平衡因子 = 左子树高 − 右子树高，绝对值 ≤ 1。 插入后失衡四种调整： LL：右旋 RR：左旋 LR：先左旋再右旋 RL：先右旋再左旋</code></pre>图示（LL 右旋）</h3> 3 2 / 右旋 / \ 2 ─────▶ 1 3 / 1</code></pre> 最小失衡子树调整后，整棵树恢复平衡；AVL 查找/插入/删除均 O(log n)。 6. 红黑树（408 要求掌握性质与插入过程）</h2> ① 结点非红即黑 ② 根是黑色 ③ 叶子（外部空结点）黑色 ④ 红结点的两个孩子必为黑（无连续红） ⑤ 任一结点到其所有后代叶子的路径含相同数目的黑结点（黑高相等）</code></pre> 插入调整：先染红新结点，再按叔结点颜色分情况变色 / 旋转；根始终染黑。 红黑树高度 ≤ 2·log₂(n+1)，保证 O(log n) 平衡查找。 7. 哈夫曼树与编码</h2> 构造</h3> 每次取权值最小的两棵树合并，新根权 = 两者之和，重复至一棵树。</code></pre>性质</h3> WPL = Σ(叶权 × 路径长度) 最小 只有度为 0 和 2 的结点：n 个叶子 ⇒ 2n−1 个结点</code></pre>示例（权 7 5 2 4）</h3> 18 / \ 7 11 / \ 5 6 / \ 2 4 编码（左 0 右 1）： 7 → 0 5 → 10 2 → 110 4 → 111 WPL = 7×1 + 5×2 + 2×3 + 4×3 = 35</code></pre> 哈夫曼编码是最优前缀编码（任一编码不是另一编码的前缀）。 8. 树 / 森林 ↔ 二叉树</h2> 孩子兄弟表示法： 左孩子指针 = 第一个孩子；右孩子指针 = 下一个兄弟 森林转二叉树：各树根依次作为右子树连接</code></pre> 树的先序 = 对应二叉树的先序；树的后序 = 对应二叉树的中序。 9. 并查集</h2> int find(int x) { while (parent[x] != x) x = parent[x]; return x; } void unionSet(int a, int b) { int ra = find(a), rb = find(b); if (ra != rb) parent[ra] = rb; // 可加按秩合并 }</code></pre> 用途：判断连通分量、Kruskal 判环、集合合并。路径压缩 + 按秩合并后近似 O(α(n))。 10. 堆</h2> 大根堆：parent ≥ children；小根堆：parent ≤ children 存储：完全二叉树顺序存储，下标 1 开始</code></pre>操作</th> 复杂度</th></tr></thead> 建堆</td> O(n)</td></tr> 插入 / 删除堆顶</td> O(log n)</td></tr> 堆排序</td> O(n log n)</td></tr> </tbody></table> 11. 常考题型</h2> 由先序+中序还原二叉树并求后序；</li> 完全二叉树结点编号与父子关系；</li> AVL 插入旋转过程；</li> 哈夫曼树构造与 WPL、编码；</li> 树转二叉树后的遍历关系；</li> 并查集查找次数与路径压缩；</li> 判断是否为 BST / AVL / 堆。</li> </ol> 上一篇：字符串</a> ｜下一篇：图</a> </blockquote>

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2. 遍历</h2>

7. 哈夫曼树与编码</h2>